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(2013•海淀区二模)已知点 D 为△ABC 的边 BC 上一点.且 BD=2DC,∠ADB=75°,∠ACB=30°,AD=
2

(I)求CD的长;
(II)求△ABC的面积.
分析:(I)先求出∠DAC=45°,根据正弦定理有
AD
sin30°
=
CD
sin45°
,由此求得CD的值.
(II)又在△ABD中,∠ADB=75°,利用两角和的正弦公式求得sin75°=sin(45°+30°)的值,可得S△ADB的值,再由S△ABC=
3
2
S△ADB 求得结果.
解答:解:(I)因为∠ADB=75°,∠ACB=30°,所以∠DAC=45°,在△ACD中,AD=
2

根据正弦定理有 
AD
sin30°
=
CD
sin45°
,…(4分)
所以CD=2.   …(6分)
(II)由 BD=2DC,可得BD=4. …(7分)
又在△ABD中,∠ADB=75°,sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=
6
+
2
4
,…(9分)
所以 S△ADB=
1
2
•AD•BD•sin75°
=
3
+1,…(12分)
所以 S△ABC=
3
2
S△ADB=
3
3
+3
2
.  …(13分)
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式,正弦定理的应用,属于中档题.
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x2
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+
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1
2
)
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1 2 3 -7
-2 1 0 1
表1
(Ⅱ) 数表A如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a的所有可能值;
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
表2
(Ⅲ)对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

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