Question

已知向量

a

，

b

，满足|

a

|=1，|

b

|=1，|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，k＞0，
（1）用k表示

a

•

b

，并求

a

与

b

的夹角θ的最大值；
（2）如果

a

∥

b

，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的模的平方等于向量的平方，利用向量的运算律表示出

a

•

b

；利用基本不等式求出数量积的取值范围，
利用向量的数量积公式表示出夹角余弦，求出夹角范围．
（2）根据向量共线的夹角是0°或180°，利用向量的数量积公式列出等式求出k值．

解答：解：（1）|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|?(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2
即∴k2

a

2+2k

a

•

b

+

b

2=3

a

2-6k

a

•

b

+3k2

b

2?

a

•

b

=

k2+1

4k

．
∵

a

•

b

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

2

，．
此时cosθ=

a • b

| a || b |

=

a

•

b

≥

1

2

?θmax=60°．
（2）∵

a

∥

b

，∴

a

与

b

夹角为0°或180°

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ=±1?|

k2+1

4k

|=1
又∵k＞0，∴k2+1=4k?k=2±

3

．

点评：本题考查向量的模的平方等于向量的平方；向量的数量积公式表示向量的夹角；向量共线的充要条件．