Question

【题目】如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．
（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为 ，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥平面ACB，

∴B1M⊥AC

又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB

因为AC平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB

（2）解：

以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，

建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B1M=t，则A（2，0，0），

B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）

即

设面AB1B法向量 ，

∴ ，

同理面AB1C1法向量

因为二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为 ，

∴ ，

∴t4+29t2﹣96=0

∴t2=3，

所以斜三棱柱的高为 ．

【解析】（1）取BC中点M，连接B1M，证明B1M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B1C1CB，然后证明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设B1M=t，求出相关点的坐标，求出平面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值为 ， 转化求解斜三棱柱的高即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．