Question

函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）在R上是增函数．
（2）若f（4）=5，解不等式．f（3m²-4）＜3．
（3）若f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），求f（6）的值．

Answer 1

分析：（1）?实数x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，利用已知可得f（x₂-x₁）＞1．再利用已知可得f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）即可．
（2）令a=b=2，则f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．不等式f（3m²-4）＜3．化为f（3m²-4）＜f（2）．由（1）可得：f（x）在R上是增函数．可得3m²-4＜2，解得即可；
（3）由m∈（-3，2），可得（-3，2）是不等式（m+3）（m-2）＜0的解集，化为m²+m-5＜1．由f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），
及由（1）可知：f（x）在R上是增函数．必有f（1）=2．再利用已知即可得出f（2）、f（4）、f（6）．

解答：解：（1）证明：?实数x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
又∵函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是增函数．
（2）令a=b=2，则f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．
不等式f（3m²-4）＜3．化为f（3m²-4）＜f（2）．
由（1）可得：f（x）在R上是增函数．
∴3m²-4＜2，化为m²＜2，解得-

2

＜m＜

2

．
∴不等式f（3m²-4）＜3的解集为(-

2

，

2

)．
（3）由m∈（-3，2），可得（-3，2）是不等式（m+3）（m-2）＜0的解集，
化为m²+m-5＜1，
∵f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），及由（1）可得：f（x）在R上是增函数．
∴f（1）=2．
∴f（2）=f（1+1）=2f（1）-1=3，
∴f（4）=2f（2）-1=2×3-1=5，
∴f（6）=f（2）+f（4）-1=3+5-1=7．
故f（6）=7．

点评：本题考查了抽象函数的单调性、求值、解不等式等基础知识与基本方法，考查了灵活应用知识解决问题的能力，属于难题．