Question

给出下列命题：
①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；
②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；
③若log_m3＜log_n3＜0，则0＜m＜n＜1；
④若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．
其中正确命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①根据函数奇偶性的性质进行判断．②根据函数周期性的定义进行推导．③根据对数的运算法则进行计算．④根据复合函数的单调性进行判断．

解答：解：①若y=f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），∴|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|，即|f（x）|为偶函数，∴图象关于y轴对称；正确．
②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则f（x）≠0，
∴f（x）•f（x+4）=f（x+4）•f（x+8）=1，即f（x+8）=f（x），则8是函数f（x）的一个周期；正确．
③若log_m3＜log_n3＜0，则

1

log3m

＜

1

log3n

＜0，
即log₃n＜log₃m＜0，即0＜n＜m＜1，∴③错误．
④设t=|x-a|，则函数y=e^t单调递增，t=|x-a|在[a，+∞）上也单调递增，∴若f（x）=e^|x-a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．正确．
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查函数奇偶性，周期性和单调性的判断和应用，利用相应的定义和性质是解决本题的关键，要求熟练掌握函数的性质的综合应用．