Question

给出下列命题：①y=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函数；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数f（x）=2^x-x²在R上有3个零点；
④函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到函数y=sin(2x+

π

4

)的图象．
其中正确命题的序号是

 

．（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可判断①的正误；根据第一象限的角，不一定在同一单调区间上，无法比较大小，可以得到②的真假；根据函数零点的求法，我们将问题转化为两个基本函数图象交点个数判断后，可以得到③的真假；根据图象平移变换的法则，我们可以判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：函数f（x）=lg(sinx+

1+sin2x

)的定义域为R，
且f（-x）+f（x）=lg(sin(-x)+

1+sin2(-x)

)+lg(sinx+

1+sin2x

)=lg1=0，
即f（-x）=-f（x）
∴①y=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函数正确；
若α，β是第一象限角，且α＞β，但α，β不一定在同一单调区间上，则cosα＜cosβ不一定成立，故②错误；
在同一平面坐标系中画出y=2^x与函数y=x²的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数f（x）=2^x-x²在R上有3个零点正确；
函数y=sin2x的图象向左平移

π

4

个单位，得到函数y=sin[2(x+

π

4

)]=sin(2x+

π

2

)的图象，故④错误．
故答案为：①③

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数零点个数的判断，函数的平移变换及函数单调性的应用，是对函数性质及图象的综合考查，难度适中，其中②中易忽略α，β不一定在同一单调区间上，而根据余弦函数的单调性，而错判断为正确．