Question

给出下列命题：
①y=

x2+3

x2+2

的最小值为2；       
②若a＞b，则

1

a

＜

1

b

成立的充要条件是ab＞0；
③若不等式x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，则实数a的取值范围为（-3，3）．
真命题的序号是

②

．

Answer 1

分析：①变形并利用基本不等式可得：y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，但是等号不成立，故y无最小值；
 ②正确：若a＞b，ab＞0，?

a

ab

＞

b

ab

，?

1

a

＜

1

b

；
③由不等式x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立了，令f（x）=x²+ax-4，利用二次函数的图象与性质可得

f(-1)≤0 f(1)≤0

，解出即可判断出．

解答：解：①y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，但是

x2+2

=

1

x2+2

，化为x²=-1，无实数根，故等号不成立，故y无最小值，因此①不正确；
 ②正确：充分性：若a＞b，ab＞0，则

a

ab

＞

b

ab

，即

1

a

＜

1

b

；
必要性：若a＞b，则

1

a

＜

1

b

成立，可得

a-b

ab

＞0，∵a-b＞0，∴ab＞0．
因此，若a＞b，则

1

a

＜

1

b

成立的充要条件是ab＞0；正确．
③∵不等式x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立了，令f（x）=x²+ax-4，则

f(-1)≤0 f(1)≤0

，解得-3≤a≤3，因此③不正确．
综上可知：只有②正确．

点评：熟练掌握基本不等式的性质、充分必要条件、不等式的基本性质、二次函数的图与性质是解题的关键．