Question

已知a，b为正实数．
（1）求证：

a2

b

+

b2

a

≥a+b；
（2）利用（I）的结论求函数y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用比较法证明a³+b³≥a²b+ab²，再将该不等式同除以ab，即证．
（2）利用（1）中的结论知y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，即y的最小值为1．

解答：解：（1）（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）-（ab²-b³）
=a²（a-b）-b²（a-b）
=（a²-b²）（a-b）
=（a+b）（a-b）²．
因为a，b为正实数，所以a+b＞0，（a-b）²≥0，
所以a³+b³≥a²b+ab²
又a²b+ab²=ab（a+b），
所以

a3+b3

ab

≥a+b即

a2

b

+

b2

a

≥a+b
（2）∵0＜x＜1∴1-x＞0，∴由（1）中的结论知y=

(1-x)2

x

+

x2

1-x

≥（1-x）+x=1，
当且仅当1-x=x即x=

1

2

时，y的最小值为1．

点评：此题考查不等式证明中常用的方法：比较法和综合法．解答过程中关键在于要把问题变形，才能找到思路．