Question

已知a，b为正实数．
（1）若函数f(x)=

lnx

x

，求f（x）的单调区间
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：a^b＞b^a．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减；
（2）根据第一问的单调性可知若e＜a＜b，f（a）＞f（b），可得：

lna

a

＞

lnb

b

，化简变形，再根据对数函数的单调性可证得a^b＞b^a．

解答：解：（1）∵f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1-lnx

x2

，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：

lna

a

＞

lnb

b

，
∴blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
∴a^b＞b^a；

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及不等式的证明等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．