Question

在△ABC中，设

a+b

c

=p，C=

π

3

．
（I）若sinA=

3

cosB，求角B及实数p的值；
（II）求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）若sinA=

3

cosB，利用两角差的正弦公式展开化简可得tanB=

3

，B=

π

3

，又 C=

π

3

，故三角形为正三角形，
可得p=2．
（II）解法一：由

a+b

c

=p，C=

π

3

，利用余弦定理可得ab=

1

3

c2（p²-1）．故a、b是方程
x²-cpx+

1

3

c2（p²-1）=0的两个根，可得△≥0，由此解得实数p的取值范围．
解法二：由 p=

a+b

c

利用正弦定理可得 p=

sinA+sinB

sin π 3

，化简为 2sin（A+

π

6

），再由0＜A＜

2π

3

，可得

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，由此求得实数p的取值范围．

解答：解：（I）若sinA=

3

cosB，C=

π

3

，则有sin（

2π

3

-B）=

3

cosB，
利用两角差的正弦公式展开化简可得

1

2

sinB=

3

2

cosB，
∴tanB=

3

，B=

π

3

，又 C=

π

3

，故三角形为正三角形，故p=2．
（II）解法一：∵

a+b

c

=p，C=

π

3

，由余弦定理可得 c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，∴ab=

1

3

c²（p²-1）．
故ab是方程 x²-cpx+

1

3

c²（p²-1）=0的两个根，∴△=（cp）²-4•

1

3

c2（p²-1）≥0，解得 p²≤4．
再由 p=

a+b

c

＞

c

c

=1，故实数p的取值范围是（1，2]．
解法二：由 p=

a+b

c

利用正弦定理可得 p=

sinA+sinB

sin π 3

=

2

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

2

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）=2（

3

2

sinA+

1

2

cosA）=2sin（A+

π

6

）．
由于 0＜A＜

2π

3

，∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，∴1＜p≤2，即实数p的取值范围是（1，2]．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．