Question

设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f′（x），且对任意正数x均有f′（x）＞

f(x)

x

，
（Ⅰ）判断函数F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（0，+∞），比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）先求出F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x

，然后根据条件对任意正数x均有f′（x）＞

f(x)

x

，确定出F′（x）的符号，得到函数在（0，+∞）上的单调性；
（II）根据F（x）在（0，+∞）上是增函数得到F（x₁）＜F（x₁+x₂），化简变形可得（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂），同理可得（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂），将两式相加即可判定出f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小．

解答：解：（Ⅰ）由于f′（x）＞

f(x)

x

得，

xf′(x)-f(x)

x

＞0，而x＞0，
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x

＞0，因此F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数．（6分）
（Ⅱ）由于x₁，x₂∈（0，+∞），则0＜x₁＜x₁+x₂，
而F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
则F（x₁）＜F（x₁+x₂），即

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
∴（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂）（1），（9分）
同理（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂）（2）（11分）
（1）+（2）得：（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]＜（x₁+x₂）f（x₁+x₂），而x₁+x₂＞0，
因此f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）（14分）

点评：本题主要考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．