Question

设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
如果f（x）=

2x+1

+k为闭函数，那么k的取值范围是

-1＜k≤-

1

2

．

Answer 1

分析：函数f（x）=

2x+1

+k是[-

1

2

，+∞）上的增函数，因此若函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）．因此方程k=x-

2x+1

在[-

1

2

，+∞）上有两个不相等的实数根a、b．最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=

2x+1

+k为闭函数时，实数k的取值范围是：-1＜k≤-

1

2

．

解答：解：∵k是常数，函数y=

2x+1

是定义在[-

1

2

，+∞）上的增函数，
∴函数f（x）=

2x+1

+k是[-

1

2

，+∞）上的增函数，
因此，若函数f（x）=

2x+1

+k为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，
使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）
∴

2a+1 +k=a 2b+1 +k=b

，
可得方程k=x-

2x+1

在[-

1

2

，+∞）上有两个不相等的实数根a、b
令t=

2x+1

，得x=

t2-1

2

，设函数F（x）═x-

2x+1

=g（t），（t≥0）
即g（t）=

1

2

t²-t-

1

2

，
在t∈[0，1]时，g（t）为减函数-1≤g（t）≤-

1

2

；在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数g（t）≥-1；
∴当-1＜k≤-

1

2

时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x-

2x+1

，
当f（x）=

2x+1

+k为闭函数时，实数k的取值范围是：-1＜k≤-

1

2

．
故答案为：-1＜k≤-

1

2

点评：本题以含有根式的函数为例，探求函数为闭函数时参数k的取值范围，着重考查了函数的单调性、换元法讨论二次函数等知识点，属于中档题．