Question

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数，[a，b]为函数f（x）的闭区间．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．
（1）写出f（x）=x³的一个闭区间；
（2）若f（x）=

1

3

x³-k为闭函数求k取值范围？

Answer 1

分析：（1）根据闭函数的定义，结合x³=x有三个解-1，0，1，可写出使函数f（x）=x³为闭函数的区间；
（2）根据闭函数的定义，结合f（x）=

1

3

x³-k的单调性，可得f（x）=

1

3

x³-k为闭函数时f（x）=

1

3

x³-k=x至少有两个不等的根，进而可得k取值范围

解答：解：（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以说明写出即可）----（4分）
（2）∵f（x）=

1

3

x³-k
∴f′（x）=x²，
∵f′（x）≥0恒成立
故f（x）=

1

3

x³-k在定义域R上为增函数----（5分）
若f（x）=

1

3

x³-k为闭函数
则f（x）=

1

3

x³-k=x 有至少两个不同的解----（6分）
即k=

1

3

x³-x有至少两个不同的解
令g（x）=

1

3

x³-x
则g′（x）=x²-1
令g′（x）=0，则x=±1
∵g（-1）=

2

3

，g（1）=-

2

3

即函数g（x）=

1

3

x³-x的极大值为

2

3

，极小值为-

2

3

故k∈[-

2

3

，

2

3

]------------（10分）

点评：本题以新定义为载体考查了函数的单调性及判断，方程根的个数问题，正确理解新定义是解答的关键．