Question

如图，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面成60°的角，D为AC中点.

(1)求证：AA₁⊥BD；

(2)(理)若面A₁DB⊥面DC₁B，求侧棱AA₁之长.

(文)若侧棱长AA₁=，求证：A₁D⊥平面BDC₁.

Answer 1

答案：(1)证明：在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，因为A₁在底面ABC上射影落在AC上，

则平面A₁ACC₁经过底面ABC的垂线.故侧面A₁C⊥面ABC，又BD为等腰△ABC底边AC上中线，则BD⊥AC，从而BD⊥面AC.∴BD⊥面A₁C.又AA₁面A₁C,∴AA₁⊥BD.6分

(2)(理)解:在底面ABC中△ABC是等腰三角形，D为底边AC上的中点，

故DB⊥AC.又面ABC⊥面A₁C，∴DB⊥面A₁C，则DB⊥DA₁，DB⊥DC₁，则∠A₁DC₁是二面角A₁OBC₁的平面角.∵面A₁DB⊥面DC₁B，则∠A₁DC₁=90°.将平面A₁ACC₁放在平面坐标系中(如上图).∵侧棱AA₁和底面成60°的角，∴∠A₁AC=60°.设A₁A=a.

则A₁(,a)、C₁(+2,a)、A(0,0)、C(2,0),AC中点D(，0).

由=0,知(-,a)·(+,a)=0.∴a²=3,a=.

故所求侧棱AA₁长为.

(文)证明：在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，则由余弦定理可知AC=2，

D为AC中点,故AD=DC=.∵AA₁和底面ABC所成角为60°，则∠AA₁C=60°.

在?A₁ACC₁中，A₁A=AD=，∠A₁AD=60°,∴A₁D=,D=()²+()²-2··cos120°=9.又A₁C₁=2,

在△A₁C₁D中,由勾股定理可知∠A₁DC₁=90°,∴A₁D⊥DC₁.又由(1),可知BD⊥面A₁C，则BD⊥A₁D，因此A₁D和面BDC₁内两相交直线BD与DC₁均垂直，∴A₁D⊥面DBC₁.