Question

【题目】若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数的图像上；②P，Q关于原点对称，则称P，Q是函数的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”）.已知函数若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据原点对称的性质，求出当﹣4≤x＜0时函数关于原点对称的函数，条件转化函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．

当﹣4≤x＜0时，函数y＝|x+3|关于原点对称的函数为﹣y＝|﹣x+3|，即y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），

若此函数的“友好点对”有且只有一对，

则等价为函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，

作出两个函数的图象如图：

若a＞1，则f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，满足条件，

当x＝4时，y＝﹣|4﹣3|＝﹣1，

若0＜a＜1，要使两个函数只有一个交点，

则满足f（4）＜﹣1，

即loga4＜﹣1，得a＜1，

综上a＜1或a＞1，

即实数a的取值范围是，

故选：A．