Question

19．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=$\frac{7}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a₁＜a₂，则数列{na_n}的前n项和为T_n=$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{3}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}公比为q，由题意可得首项和公比的方程组，解方程组由等比数列的通项公式，代入数列{na_n}，再由错位相减法得答案．

解答 解：设等比数列{a_n}公比为q，
由a₂=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{7}{3}$，得a₂=$\frac{2}{3}$，a₁+a₃=$\frac{5}{3}$，
由等比数列的通项公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=\frac{2}{3}}\\{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{4}{3}}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵a₁＜a₂，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=$\frac{1}{3}×{2}^{n-1}$，
则na_n=$\frac{n}{3}×{2}^{n-1}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1），
$2{T}_{n}=\frac{1}{3}（1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+…+n•{2}^{n}）$，
两式作差得$-{T}_{n}=\frac{1}{3}（1+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}-n•{2}^{n}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n}）$=$\frac{1}{3}（{2}^{n}-1-n•{2}^{n}）$．
∴${T}_{n}=\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{3}$．
故答案为：$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，属中档题．