Question

4．下列函数在[0，$\frac{π}{2}$]上是增函数的是（　　）

• A． y=sin2x-cos2x
• B． y=sin2x+cos2x
• C． y=sin2x-2cosx
• D． y=sin2x+2cosx

Answer 1

分析 化简选项中的函数，判断函数是否在[0，$\frac{π}{2}$]上是增函数即可．

解答 解：对于A，函数y=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，函数y不是增函数；
对于B，函数y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，函数y不是增函数；
对于C，函数y=sin2x-2cosx，
y′=2cos2x+2sinx=2（1-2sin²x）+2sinx=-4${（sinx-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$≥-4×${（1-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$=0，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，y′≥0恒成立，函数y是增函数；
对于D，函数y=sin2x+2cosx，
y′=2cos2x-2sinx=-4${（sinx+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$≥-4×${（1+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$=-4，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，y′≥0不恒成立，函数y不是增函数．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的化简与单调性问题，属于中档题．