Question

16．设首项为正数的等比数列{a_n}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，则此数列的第n项a_n=2•3^n-1．

Answer 1

分析 根据S_2n-S_n=6560-80＞80，可得此数列为递增等比数列，故q≠1，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=80①}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}=6560②}\\{{a}_{1}{q}^{n-1}=54③}\end{array}\right.$，解此不等式组求出首项a₁及公比q的值，结合等比数列的通项公式求得a_n．

解答 解：∵S_2n-S_n=6560-80＞80，
∴此数列为递增等比数列．故q≠1．
依题设，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=80①}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}=6560②}\\{{a}_{1}{q}^{n-1}=54③}\end{array}\right.$，
②÷①，得 1+qⁿ=82，qⁿ=81．④
④代入①，得 a₁=q-1．⑤
⑤代入③，得 qⁿ-q^n-1=54．⑥
④代入⑥，得 q^n-1=27，再代入③，得a₁=2，再代入⑤，得 q=3．
综上可得 a₁=2，q=3．
∴a_n=2•3^n-1．
故答案是：2•3^n-1．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题目．