Question

9．给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sinx≤1．
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空．
③当x＞1时，有$lnx+\frac{1}{lnx}≥2$．
④设复数z满足（1-i）$\overline{z}$=2i，则z=-1-i．
其中真命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 ①，根据正弦函数y=sinx的值域为[-1，1]判断；
②，∵|x-4|+|x-3≥|（x-4）-（x-3|=1；
③，当x＞1时，lnx＞0；
④，复数z满足（1-i）$\overline{z}$=2i⇒z=$\frac{2i}{1-i}=\frac{2i（1+i）}{（1-i）（1+i）}=-1+i$

解答 解：对于①，正弦函数y=sinx的值域为[-1，1]．故正确；
对于②，|x-4|+|x-3≥|（x-4）-（x-3|=1，当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为空集，故错；
对于③，当x＞1时，lnx＞0，有$lnx+\frac{1}{lnx}≥2$．故正确；
对于④，复数z满足（1-i）$\overline{z}$=2i⇒z=$\frac{2i}{1-i}=\frac{2i（1+i）}{（1-i）（1+i）}=-1+i$⇒则z=-1-i，故正确．
故答案为：①③④

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题．