Question

19．定义在实数集R上的函数f（x）满足：f（x-1）+f（x+1）=0，且f（2-x）-f（2+x）=0现有以下四种说法：
①2是函数f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x=2对称；
③f（x）是偶函数；
④（-1，0）是函数f（x）的一个对称中心．
其中正确说法的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 分别令x=x+1和x=x+3代入f（x-1）+f（x+1）=0即可得出f（x）=f（x+4），从而得出f（x）周期为4，根据f（2-x）-f（2+x）=0可得f（x）的对称轴为x=2，由f（x）=f（4-x）=f（-x）可得f（x）为偶函数，利用f（x）的奇偶性验证f（1-x）+f（1+x）是否为0即可判断对称中心．

解答 解：∵f（x-1）+f（x+1）=0，
∴f（x）+f（x+2）=0，
∴f（x+2）+f（x+4）=0，
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是以4为周期的函数；故①错误；
∵f（2-x）-f（2+x）=0，即f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的对称轴为x=2，故②正确；
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（x）=f（4-x），
又f（x）的周期为4，∴f（4-x）=f（-x），
∴f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函数，故③正确；
∵f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（-1-x），
∵f（x-1）+f（x+1）=0，∴f（x-1）+f（-1-x）=0，
∴f（x）关于（-1，0）对称，故④正确．
故选B．

点评 本题考查了函数周期性，对称性，奇偶性的判断，属于中档题．