Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{x}$-klnx（x≥1）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；
（2）若取$\sqrt{5}$=2.2361，试估计ln$\frac{5}{4}$的值．（ 精确到0.001）

Answer 1

分析 （1）$f'（x）=\frac{{{x^2}-kx+1}}{x^2}$，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．
（2）由已知得$\frac{{{x^2}-1}}{x}≥2lnx$在[1，+∞）上恒成立，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{{x^2}-1}}{x}$-klnx（x≥1），
∴$f'（x）=\frac{{{x^2}-kx+1}}{x^2}$．
①当-2≤k≤2时，k²-4≤0，x²-kx+1≥0恒成立，
所以x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，
f（x）≥f（1）=0恒成立．
②当k＜-2或k＞2时，f'（x）=0，
解得${x_1}=\frac{{k-\sqrt{{k^2}-4}}}{2}，{x_2}=\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}$，且x₁+x₂=k，x₁•x₂=1．
（ⅰ） 若k＜-2，则x₁＜0，x₂＜0，
∴x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．
（ⅱ） 若k＞2，则x₁＜1，x₂＞1，
当x∈（1，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，
这与f（x）≥0恒成立矛盾，
综上所述，k的取值范围为（-∞，2]．
（2）由（1）得$\frac{{{x^2}-1}}{x}≥2lnx$在[1，+∞）上恒成立，
取$x=\frac{{\sqrt{5}}}{4}＞1$得$2ln\sqrt{\frac{5}{4}}＜\sqrt{\frac{5}{4}}-\sqrt{\frac{4}{5}}$，
即$ln\frac{5}{4}＜\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}=0.22361$，
由（1）得k＞2时，$\frac{{{x^2}-1}}{x}＜klnx$在$（{1，\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}}）$时恒成立，
令$\frac{{k+\sqrt{{k^2}-4}}}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}$，解得$k=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}$，
取$k=\frac{{9\sqrt{5}}}{10}＞2$，则有$\frac{{{x^2}-1}}{x}＜\frac{{9\sqrt{5}}}{10}lnx$在$（{1，\sqrt{\frac{5}{4}}}）$上恒成立，
取$x=\sqrt{\frac{5}{4}}$得$\sqrt{\frac{5}{4}}-\sqrt{\frac{4}{5}}＜\frac{{9\sqrt{5}}}{10}ln\sqrt{\frac{5}{4}}$，
∴$ln\frac{5}{4}＞\frac{2}{9}≈0.2222$，$0.2222＜ln\frac{5}{4}＜0.22361$（精确到0.001）．
取$ln\frac{5}{4}=0.223$．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查对数值的估计值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．