Question

(21)

已知m∈R,设

P：    x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根,不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1,1]恒成立；

Q：   函数f(x)=x³+mx²+(m+)x+6在（-∞，+∞）上有极值。

求使P正确且Q正确的m的取值范围。

Answer 1

（21）本小题主要考查集合的运算。绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。

解：（1）由题设x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，得

x₁+x₂=a且x₁x₂=-2，

所以，|x₁-x₂|=.

当a∈[-1，1]时，a²+8的最大值为9，即

|x₁-x₂|≤3.

由题意，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立的m的解集等于不等式

|m²-5m-3|≥3

的解集。由此不等式得

m²-5m-3≤-3，                                   ①

或          m²-5m-3≥3.                          ②

不等式①的解为0≤m≤5.

不等式②的解为m≤-1或m≥6.

因此，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的。

（2）对函数f（x）=x²+mx²+（m+）x+6求导

f′（x）=3x²+2mx+m+。

令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+=0。此一元二次方程的判别式

△=4m²-12（m+）=4m²-12m-16.

若△=0，则f′（x）=0有两个相等的实根x₀，f′（x）的符号如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
f′（x）	+	0	+

因此，f（x₀）不是函数f（x）的极值

若△>0，则f′（x）=0有两个不相等的实根x₁和x₂（x₁＜x₂），且f′（x）的符号如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+

因此，函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值。

综上所述，当且仅当△>0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值。

由△=4m²-12m-16>0得

m<-1或m>4，

因此，当m<-1或m>4时，Q是正确的。

综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为

（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）