Question

已知椭圆

x2

m

+

y2

n

=1，常数m、n∈R⁺，且m＞n．
（1）当m=25，n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若

QF

=2

FP

，求直线PQ的斜率；
（2）过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的两条直线与椭圆

x2

m

+

y2

n

=1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；
（3）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出椭圆的左焦点，设出P、Q坐标，利用若

QF

=2

FP

，和P在椭圆上，求出P、Q坐标，推出直线PQ的斜率；
（2）写出直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx与椭圆方程联立，求出A坐标，然后求出四边形ABCD的面积S；
（3）化简S的表达式，S=

4mn

n k +mk

，利用g(k)=mk+

n

k

(k≥1)的单调性，求出函数S的最大值．

解答：解：（1）∵m=25，n=21，∴

x2

25

+

y2

21

=1的左焦点为F(-2，0)．（2分）
设满足题意的点为P（x₀，y₀）、Q（0，t）．又

QF

=2

FP

，
∴（-2，-t）=2（x₀+2，y₀），即

x0=-3 t=-2y0

．（4分）
由点P(x0，y0)在椭圆上，得

9

25

+

y 2 0

21

=1，于是y0=±

4 21

5

．（5分）
∴kPQ=kQF=

t

2

=-y0=±

4 21

5

．（6分）
（2）∵过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx关于x轴和y轴对称，
∴四边形ABCD是矩形．（8分）
设点A（x₀，y₀）．
联立方程组

x2 m + y2 n =1 y=kx

，得x2=

mn

n+mk2

.于是x₀是此方程的解，故

x

2 0

=

mn

n+mk2

.（10分）
∴S=4x0y0=4k

x

2 0

=

4mnk

n+mk2

 (k≥1)．（12分）
（3）由(2)可知，S=

4mnk

n+mk2

=

4mn

n k +mk

．
设g(k)=mk+

n

k

(k≥1)，则g（k）在[1，+∞）上是单增函数．（13分）
理由：对任意两个实数k₁、k₂∈[1，+∞），且k₁＜k₂，则g(k1)-g(k2)=mk1+

n

k1

-(mk2+

n

k2

)
=m(k1-k2)+n(

1

k1

-

1

k2

)=(k1-k2)

mk1k2-n

k1k2

．（14分）
∵m＞n＞0，k₂＞k₁≥1，∴k₁k₂＞1，mk₁k₂-n＞0．又k₁-k₂＜0，
∴(k1-k2)

mk1k2-n

k1k2

＜0，即g(k1)-g(k2)＜0．
∴g（k）在[1，+∞）上是单增函数，于是g（k）_min=g（1）=m+n．（16分）
∴S=

4mn

n k +mk

≤

4mn

m+n

(当且仅当k=1时，等号成立)．
∴Smax=

4mn

m+n

．（18分）

点评：本题考查直线的斜率，直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，是难度较大题目．