在直角坐标系xOy中.曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$(t为参数.其中0≤α＜π)．以O为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2:ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ(I)当α=$\frac{3π}{4}$时.设曲线C1与C2交于A.B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，其中0≤α＜π）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂：ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ（ρ＞0）
（I）当α=$\frac{3π}{4}$时，设曲线C₁与C₂交于A、B两点，求|AB|；
（Ⅱ）已知曲线C₁过定点P，Q是曲线C₂上的动点，求|PQ|的取值范围．

分析（I）求出曲线C₂的普通方程，将直线C₁的参数方程代入C₂的普通方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系求出|AB|；
（II）求出P到圆C₂的圆心的距离和圆的半径r，判断P与圆的位置关系，根据位置关系得出最大值和最小值．

解答解：（I）当α=$\frac{3π}{4}$时，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ，即ρ²-4ρcosθ+6ρsinθ+9=0．
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²-4x+6y+9=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x+6y+9=0，整理得t²+7$\sqrt{2}$t+21=0，
∴t₁+t₂=-7$\sqrt{2}$，t₁t₂=21．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．
（II）P（-1，1），曲线C₂的标准方程为（x-2）²+（y+3）²=4，
∴曲线C₂表示圆心为M（2，-3），半径为2的圆．
∴PM=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-3-1）^{2}}$=5，
∴3≤|PQ|≤7．

点评本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆，点与圆的位置关系，属于中档题．

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