Question

11．证明：$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（n+1）（2n+1）}＜\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 运用$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），将原不等式的左边从第二项开始放缩，由不等式的性质即可得证．

解答 证明：由$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{5}{12}$-$\frac{1}{2（n+1）}$＜$\frac{5}{12}$．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用裂项相消和放缩法，考查推理和运算能力，属于中档题．