Question

2．已知x，y，z均为正数，且x²+4y²+z²=3
（1）证明：x+2y+z≤3；
（2）求2xy+2yz+zx的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x，y，z均为正数，且x²+4y²+z²=3，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；
（2）由x，y，z均为正数，且x²+4y²+z²=3，运用柯西不等式可得（2xy+2yz+zx）²≤（x²+4y²+z²）（4y²+z²+x²），即可求得最大值．

解答 解：（1）证明：由x，y，z均为正数，且x²+4y²+z²=3，
可得（x+2y+z）²≤（x²+4y²+z²）（1+1+1）=9，
可得x+2y+z≤3，当且仅当x=2y=z=1时，等号成立；
（2）x，y，z均为正数，且x²+4y²+z²=3，可得
（2xy+2yz+zx）²≤（x²+4y²+z²）（4y²+z²+x²）=9，
可得2xy+2yz+zx≤3，
当且仅当$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{z}=\frac{z}{x}$即x=2y=z=1时，取得最大值3..

点评 本题考查不等式的证明和最值的求法，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．