Question

20．已知椭圆C₁：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：x²=y+1有公共弦AB（A在B左边），AB=2，C₂的顶点是C₁的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l与C₁、C₂分别交于点M、N（均异于点A、B）．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线y=x²-1的顶点为（0，-1），可得椭圆的下焦点为（0，-1），c，由AB=2，可得x_B=1，代入抛物线得B（1，0），得b，再利用a²=b²+c²，即可得出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y=k（x-1），分别与椭圆、抛物线的方程联立可得点M，N的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线y=x²-1的顶点为（0，-1），即椭圆的下焦点为（0，-1），
∴c=1，
由AB=2，知x_B=1，代入抛物线得B（1，0），得b=1，
∴a²=b²+c²=2，
∴C₁的方程为$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$．
（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y=k（x-1），
与联立$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$消去y得：（k²+2）x²-2k²x+k²-2=0，
则${x_M}•{x_B}=\frac{{{k^2}-2}}{{{k^2}+2}}$，得${x_M}=\frac{{{k^2}-2}}{{{k^2}+2}}$，${y_M}=\frac{-4k}{{{k^2}+2}}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x^2}=y+1}\end{array}}\right.$，得x²-kx+k-1=0，
由△=k²-4（k-1）=（k-2）²＞0，得k≠2，
则x_N•x_B=k-1，得x_N=k-1，y_N=k（k-2），
∵点A在以MN为直径的圆外，即$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}＞$$∈[0，\;\frac{π}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}＞0$，又A（-1，0），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_M}+1，{y_M}）•（{x_N}+1，{y_N}）$=$\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+2}}•k+\frac{{-4{k^2}（k-2）}}{{{k^2}+2}}$=$\frac{{2{k^2}（4-k）}}{{{k^2}+2}}＞0$，
解得k＜4，综上知k∈（-∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．