Question

5．有三位环保专家从四个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，三位专家选取的城市可以相同，也可以不同．
（1）求三位环保专家选取的城市各不相同的概率；
（2）设选取某一城市的环保专家有ξ人，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用等可能事件概率计算公式能求出三位环保专家选取的城市各不相同的概率．
（2）由题意可知ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）有三位环保专家从四个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，
三位专家选取的城市可以相同，也可以不同，
事件A表示“三位环保专家选取的城市各不相同”，
则三位环保专家选取的城市各不相同的概率$P（A）=\frac{A_4^3}{4^3}=\frac{3}{8}$．
（2）由题意可知ξ=0，1，2，3，
$P（ξ=0）=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}$，
$P（ξ=1）=\frac{{C_3^1•{3^2}}}{4^3}=\frac{27}{64}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_3^1•3}{4^3}=\frac{9}{64}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{4^3}=\frac{1}{64}$，
所以ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

数学期望$Eξ=0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求示，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．