Question

17．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（其中a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（-$\sqrt{3}$，1）且与抛物线y²=-8x有一个公共的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求得焦点坐标，进一步得到椭圆左焦点坐标，把（-$\sqrt{3}$，1）代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b的答案；
（2）写出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入弦长公式求得线段AB的长度．

解答 解：（1）抛物线y²=-8x的焦点为（-2，0），
∴椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点为（-2，0），c=2，b²=a²-4．
又$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，得a⁴-8a²+12=0，解得a²=6（a²=2舍去）．
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）直线l的方程为y=x-2．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y并整理得2x²-6x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x₁+x₂=3，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2}$．
则$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}=\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用弦长公式求弦长，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．