Question

15．设a，b，c为正数，且a²+b²+c²=1，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

Answer 1

分析 由条件可得不等式的左边为3+（$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{bc}$）+（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2{b}^{2}}{ac}$）+（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{2{c}^{2}}{ab}$），配方即可得证．

解答 证明：由a²+b²+c²=1，可得：
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$
-$\frac{2{a}^{2}}{bc}$-$\frac{2{b}^{2}}{ac}$-$\frac{2{c}^{2}}{ab}$=3+（$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{bc}$）+（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{2{b}^{2}}{ac}$）+（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{2{c}^{2}}{ab}$）
=3+（$\frac{a}{b}$-$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{a}$-$\frac{b}{c}$）²+（$\frac{c}{a}$-$\frac{c}{b}$）²≥3．
当且仅当a=b=c取得等号．
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法，考查逻辑推理能力，属于中档题．