Question

5．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x-2）²+y²=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（　　）

• A． [-18，6]
• B． [6-5$\sqrt{2}$，6+5$\sqrt{2}$]
• C． [-16，4]
• D． [-6-5$\sqrt{2}$，-6+5$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．

解答 解：圆C：（x-2）²+y²=2，圆心为：（2，0），半径为$\sqrt{2}$，
∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，
∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，
∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，
故$\frac{|3×2+4×0+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}≤$2，解得-16≤a≤4，
故选：C．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于2是解决问题的关键，属中档题．