Question

16．已知椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点为M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线l与圆x²+y²=2相交于C、D，与椭圆T相交于E、G，且|CD|=$\sqrt{5}$，求|EG|．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{6（c-\frac{2}{3}）}$，再结合椭圆的离心率及隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）分直线l不存在斜率与存在斜率两种情况讨论，利用点到直线的距离公式、韦达定理及焦点弦长公式，计算即得结论．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式作差得，$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$，①
∵点M平分弦AB，经过焦点，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2}{3}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{1}{3}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}+c}$，
代入①得，$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}×（-\frac{2}{3}+c）}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{6（c-\frac{2}{3}）}$．
又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
∴${c}^{2}={b}^{2}=\frac{1}{2}{a}^{2}$．
∴$\frac{1}{2}=\frac{1}{6（c-\frac{2}{3}）}$，即c=1，a=$\sqrt{2}$．
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知F₂（1，0），
当直线l不存在斜率时，直线方程为x=1，代入圆x²+y²=2，得y=±1，不满足条件；
当直线l存在斜率时，令直线l：y=k（x-1），E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
则圆心O（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵在圆x²+y²=2中，d²=2-$\frac{|CD{|}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}=\frac{3}{4}$，解得k²=3，
又∵$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由焦点弦长公式有|EG|=2a-e（x₁+x₂）=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
代入k²=3，可得|EG|=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．