Question

7．已知x，y＞0，求证：$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}$≥$\sqrt{xy}$．

Answer 1

分析 由（x-y）²≥0，可得$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$，再由均值不等式，结合不等式的传递性即可得证．

解答 证明：因为x，y＞0，且（x-y）²≥0，
（当且仅当x=y时“=”成立）
即有2（x²+y²）-（x+y）²≥0，
所以$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$，①
又$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$，（当且仅当x=y时“=”成立）②
由①②得$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\sqrt{xy}$（当且仅当x=y时“=”成立）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题．