Question

18．已知正数x，y，z满足x+y+z=xyz，且不等式$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$≤λ恒成立，求λ的范围．

Answer 1

分析 由条件，结合二元均值不等式及柯西不等式，求得$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$的最大值，由恒成立思想即可得到所求范围．

解答 解：由正数x，y，z满足x+y+z=xyz，
运用二元均值不等式及柯西不等式，得　
$\frac{1}{x+y}$+$\frac{1}{y+z}$+$\frac{1}{z+x}$≤$\frac{1}{2\sqrt{xy}}$+$\frac{1}{2\sqrt{yz}}$+$\frac{1}{2\sqrt{zx}}$
=$\frac{1}{2}$（1×$\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}$+1×$\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}$+1×$\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}$）
≤$\frac{1}{2}$[（1²+1²+1²）（$\frac{z}{x+y+z}$+$\frac{x}{x+y+z}$+$\frac{y}{x+y+z}$）]${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当x=y=z=$\sqrt{3}$，取得等号．
由恒成立思想可得λ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故参数λ的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二元均值不等式及柯西不等式，注意变形和化简，考查运算能力，属于中档题．