Question

8．已知正实数a，b，c满足a+b²+c³=1，求证：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^6}$≥27．

Answer 1

分析 由正实数a，b，c满足a+b²+c³=1，运用三元均值不等式，可得ab²c³≤$\frac{1}{27}$，再由均值不等式即可得证．

解答 证明：因为正实数a，b，c满足a+b²+c³=1，
所以$1≥3\root{3}{{a{b^2}{c^3}}}$，即$a{b^2}{c^3}≤\frac{1}{27}$，
所以$\frac{1}{{a{b^2}{c^3}}}≥27$，
因此$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^6}≥3\root{3}{{\frac{1}{{{a^2}{b^4}{c^6}}}}}≥27$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．