Question

13．若x∈[0，+∞），则下列不等式不恒成立的是（　　）

• A． e^x≥x+1
• B． ln（x+2）-ln（x+1）$＜\frac{1}{x+1}$
• C． $\frac{2}{π}$x+cosx≥1+sinx
• D． cosx≥1-$\frac{1}{2}$x²

Answer 1

分析 对选项加以判断，运用函数的导数，判断符号可得单调性，对于不恒成立可通过举特殊值，即可得到C不恒成立．

解答 解：对于A，由e^x-x-1的导数为e^x-1，当x≥0时，导数大于等于0，可得e^x-x-1≥0，故A恒成立；
对于B，ln（x+2）-ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$=ln$\frac{x+2}{x+1}$-$\frac{1}{x+1}$=ln（1+$\frac{1}{x+1}$）-$\frac{1}{x+1}$，令t=$\frac{1}{x+1}$（0＜t≤1），
ln（1+t）-t的导数为$\frac{1}{1+t}$-1=$\frac{-t}{1+t}$＜0，可得ln（1+t）-t＜0，即为ln（1+$\frac{1}{x+1}$）＜$\frac{1}{x+1}$，故B恒成立；
对于C，取x=$\frac{π}{2}$时，$\frac{2}{π}$•$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$-1-sin$\frac{π}{2}$=-1＜0，故C不恒成立；
对于D，cosx-1+$\frac{1}{2}$x²的导数为-sinx+x，当x≥0时，sinx≤x，可得cosx-1+$\frac{1}{2}$x²≥0，故D恒成立．
综上可得，C不恒成立．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．