Question

4．求证：$\sqrt{x}-\sqrt{x-1}＜\sqrt{x-2}-\sqrt{x-3}（x≥3）$．

Answer 1

分析 运用分析法证明．要证原不等式成立，由分子有理化可得$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，运用不等式的性质，即可得证．

解答 证明：运用分析法证明．
要证$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-1}$＜$\sqrt{x-2}$-$\sqrt{x-3}$（x≥3），
即证$\frac{x-（x-1）}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}$＜$\frac{（x-2）-（x-3）}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}$，
即有$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}$＜$\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}}$，
即为$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-2}$+$\sqrt{x-3}$，
由x≥3，可得$\sqrt{x}$＞$\sqrt{x-2}$，$\sqrt{x-1}$＞$\sqrt{x-3}$，
即有上式成立．
综上可得原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法和不等式的性质，考查化简和推理能力，属于基础题．