Question

12．设实数x，y满足x+y-xy≥2，则|x-2y|的最小值为2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 作出曲线（x-1）（y-1）=-1的图象，由题意可得|x-2y|即为曲线上任一点到直线x-2y=0的距离的$\sqrt{5}$倍的最小值．
可得与曲线相切，且与直线x-2y=0平行的直线距离的$\sqrt{5}$倍，求出函数的导数，求出切线的斜率，求得切点，代入即可得到所求最小值．

解答 解：实数x，y满足x+y-xy≥2，
即为（x-1）（y-1）≤-1，
作出曲线（x-1）（y-1）=-1的图象，
由题意可得|x-2y|即为
曲线上任一点到直线x-2y=0的距离的$\sqrt{5}$倍的最小值．
可得与曲线相切，且与直线x-2y=0平行的直线距离的$\sqrt{5}$倍．
设切点为（m，n），由y=1-$\frac{1}{x-1}$的导数为y′=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
即有切线的斜率为$\frac{1}{（m-1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=1+$\sqrt{2}$（负的舍去），
切点为（1+$\sqrt{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则|x-2y|的最小值为|1+$\sqrt{2}$-2（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）|=2$\sqrt{2}$-1．
故答案为：2$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查最值的求法，注意运用导数求得切点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．