Question

7．如图所示的几何体是由以正△ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线OA∥平面DEF；
（Ⅱ）求直线FC与平面DEF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取DE的中点G，连结OG，GF，则可证四边形OAFG是平行四边形，于是OA∥FG，得出OA∥平面DEF；
（2）过C作CH⊥DE于H，连FH，则可证CH⊥平面DEF，于是∠CFH为所求角，利用勾股定理和等面积法求出CF，CH，即可得出sin∠CFH．

解答 （1）证明：取DE的中点G，连结OG，GF
∵OG为梯形CBDE的中位线，∴OG∥CE，且OG=$\frac{1}{2}（BD+CE）$=2，
又CE∥AF，且AF=2，∴OG$\stackrel{∥}{=}$AF，
∴四边形OAFG为平行四边形，∴GF∥OA，
又OA?平面DEF，GF?平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AO⊥平面BCED，又FG∥OA，
∴FG⊥平面BCED，又FG?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面BCDE．
在面BCED中，过C作CH⊥DE，连FH，则CH⊥平面DEF，
∴∠CFH为直线FC和平面DEF所成的角．
CF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{{2}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}CE•BC$=$\frac{1}{2}DE•CH$
∴CH=$\frac{CE•BC}{DE}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠CFH=$\frac{CH}{CF}=\frac{3}{4}$，
∴直线FC和面DEF所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的作法与计算，属于中档题．