Question

1．设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）

• A． ①和②均为真命题
• B． ①和②均为假命题
• C． ①为真命题，②为假命题
• D． ①为假命题，②为真命题

Answer 1

分析 ①举反例说明命题不成立；
②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．

解答 解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=-x，h（x）=3x；
f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x都是定义域R上的增函数，
但g（x）=-x不是增函数，所以①是假命题；
对于②，根据周期函数的定义，f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），
f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），
h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），
结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．