Question

8．双“十一”结束之后，某网站针对购物情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定：购物600（含600元）以下者，称为“理智购物”，购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”，得到如下统计表：

分组编号	年龄分组	球迷	所占比例
1	[20，25）	1000	0.5
2	[25，30）	1800	0.6
3	[30，35）	1200	0.5
4	[35，40）	a	0.4
5	[40，45）	300	0.2
6	[45，50]	200	0.1

若参与调查的“理智购物”总人数为7720人．
（1）求a的值；
（2）从年龄在[20，35）的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人；
①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；
②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[20，25）之间的人数，求ξ的分布列及期望值．

Answer 1

分析 （1）由“理智购物”者总人数为7720人，结合题意列出方程，由此能求出a的值．
（2）①年龄在[20，35）的“剁手党”有4000人，则年龄在区间[20，25）的应该抽取5人，年龄在区间[25，30）的应该抽取9人，年龄在区间[30，35）的应该抽取6人，由此能求出从这20人中随机抽取2人，这2人属于同一年龄区间的概率．
②由题意可知ξ的取值可能为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由“理智购物”者总人数为7720人，
可得：1000+1800×$\frac{1-0.6}{0.6}$+1200+a×$\frac{1-0.4}{0.4}$+300×$\frac{1-0.2}{0.2}$+200×$\frac{1-0.1}{0.1}$=7720，
解得a=880．…（4分）
（2）①年龄在[20，35）的“剁手党”共有1000+1800+1200=4000人，
则年龄在区间[20，25）的应该抽取5人，年龄在区间[25，30）的应该抽取9人，年龄在区间[30，35）的应该抽取6人．…（6分）
从这20人中随机抽取2人，这2人属于同一年龄区间的概率为：
P=$\frac{{C}_{5}^{2}+{C}_{9}^{2}+{C}_{6}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{61}{190}$．…（8分）
②由题意可知ξ的取值可能为0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

E（ξ）=$0×\frac{21}{38}+1×\frac{15}{38}+2×\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．