Question

20．已知a，b，c，d都是正数，求证：$\frac{a+b+c+d}{2}≥\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$．

Answer 1

分析 由a，b，c，d都是正数，运用作差比较法，结合完全平方式非负，即可得证．

解答 证明：a，b，c，d都是正数，
即有$\frac{a+b+c+d}{2}$-$\sqrt{ab}$-$\sqrt{cd}$
=（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）+（$\frac{c+d}{2}$-$\sqrt{cd}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{c}$-$\sqrt{d}$）²≥0，
当且仅当a=b，c=d取得等号．
则不等式$\frac{a+b+c+d}{2}≥\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法和完全平方式非负，考查运算和推理能力，属于基础题．