Question

12．设正项数列{a_n}的前n项和满足S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²．n=1时，a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简根据数列{a_n}是正项数列及其等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²．∴a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．