Question

7．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=（3n-2）a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项．
（Ⅱ）由于b_n是有一等差数列与等比数列的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵S₃=7，
∴a₁+a₂+a₃=7，
∵a₁+3，3a₂，a₃+4成等差数列，
∴a₁+3+a₃+4=6a₂，
∴a₂=a₁q=2，①，
又由a₁+a₂+a₃=7可得a₁+a₁q²=5②，
由①②可得2q²-5q+2=0，
解得q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍去），
∴a₁=1，
∴a_n=2^n-1
（Ⅱ）∵c_n=（3n-2）a_n=（3n-2）2^n-1，
∴T_n=1×2⁰+4×2¹+7×2²+…+（3n-2）2^n-1，
2T_n=1×2¹+4×2²+7×2³+…+（3n-5）2^n-1+（3n-2）2ⁿ，
两式相减得-T_n=1×2⁰+3×2¹+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-2）2ⁿ，
∴T_n=（3n-5）×2ⁿ+5，n∈N⁺．

点评 本题考查等等比数列和等差数列的性质，以及前n项和公式，注重错位相减法的考查，属于中档题．