Question

14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），设M是曲线C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．
（1）求点Q轨迹的直角坐标方程；
（2）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出C的普通方程，设Q（x，y），则M（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$），代入C的方程化简即可；
（2）把l的参数方程代入C的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求解．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为（x-2）²+y²=4，
设Q（x，y），则M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$）．
∵M在曲线C上，
∴（$\frac{x}{2}-2$）²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，即x²+y²-8x=0．
∴点Q轨迹的直角坐标方程为x²+y²-8x=0．
（2）把直线l的方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²-8x=0得t²+（4+2$\sqrt{3}$）t+4=0，
∴t₁+t₂=-4-2$\sqrt{3}$，t₁t₂=4．∴t₁，t₂同号．
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义及应用，属于中档题．