Question

17．一课题组对日平均温度与某种蔬菜种子发芽多少之间的关系进行分析研究，记录了连续五天的日平均温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日　　　　期	第一天	第二天	第三天	第四天	第五天
日平均温度x（℃）	12	11	13	10	8
发芽数y（颗）	26	25	30	23	15

该课题组的研究方案是：先从这五组数据中选取3组，用这3组数据求线性回归方程，再对剩下2组数据进行检验，若由线性回归方程得到的数据与剩下的2组数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的
（Ⅰ）求选取的3组数据中有且只有2组数据是相邻2天数据的概率；
（Ⅱ）若选取恰好是前三天的三组数据，请根据这三组数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=bx+a，并判断该线性回归方程是否可靠（参考公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对这五组数据分别编号，利用列举法求出基本事件数以及有且只有2组数据是相邻2天数据的事件数，计算所求的概率值；
（Ⅱ）由数据求得$\overline{x}$、$\overline{y}$，根据公式求得b与a的值，得到线性回归方程，利用回归方程计算数值，判断是否可靠即可．

解答 解：（Ⅰ）对这五组数据分别编号为1、2、3、4、5，从这五组数据中选取3组数据，
基本事件是123、124、125、134、135、145、234、235、245、345共有10种情况，
每种情况是等可能出现的，其中有且只有2组数据是相邻2天数据的情况是
124、125、134、145、235、245共有6种，
所以所求的概率为P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）由数据求得$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（12+11+13）=12，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（26+25+30）=27；
由公式求得b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{（12-12）×（26-27）+（11-12）（25-27）+（13-12）（30-27）}{{（12-12）}^{2}{+（11-12）}^{2}{+（13-12）}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=-3；
所以，y关于x的线性回归方程是$\widehat{y}$=$\frac{5}{2}$x-3；
当x=10时，$\widehat{y}$=$\frac{5}{2}$×10-3=22，|22-23|≤1；
同样，当x=8时，$\widehat{y}$=$\frac{5}{2}$×8-3=17，|17-15|＞1；
所以该研究所得到的线性回归方程是不可靠的．

点评 本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目．