Question

1．如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，$BC=\frac{1}{2}DE=2$，BE=CD=2，AB⊥BC，AB=3．M，N分别为DE，AD的中点．
（1）证明：平面MNC∥平面ABE；
（2）EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），试求直线MP与平面ABE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）通过证明四边形BCME是平行四边形得出MC∥BE，由中位线定理得出MN∥AE，故而平面MNC∥平面ABE；
（2）由△BED≌△CDE可知∠EBD=90°，由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC可得AB⊥平面BCDE，故BA，BE，BD两两垂直，以B为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{MP}$和平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$，设直线MP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{n}$＞|，利用同角三角函数的关系求出tanα．

解答 证明：（1）∵BC∥EM，BC=$\frac{1}{2}$DE=EM，
∴四边形BCME是平行四边形，∴MC∥BE，
又MN是△ADE的中位线，
∴MN∥AE，
∵MC∩MN=M，BE∩AE=E，MC，MN?平面MNC，BE，AE?平面ABE，
∴平面MNC∥平面ABE．
（2）∵梯形BCDE是等腰梯形，∴∠BED=∠CDE，
∴△BED≌△CDE，
∴∠EBD=∠DCE=90°，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCDE．
∴BE，BD，BA两两垂直．∴BD⊥平面ABE．
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
以B为原点，以BE，BD，BA为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则E（2，0，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），A（0，0，3），∴M（1，$\sqrt{3}$，0），P（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．
∴$\overrightarrow{MP}$=（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2）．
∵BD⊥平面ABE．∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）为平面ABE的一个法向量，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，|$\overrightarrow{MP}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=1．
∴cos＜$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MP}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{4}$．
设直线MP与平面ABE所成角为α，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{4}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直线MP与平面ABE所成角的正切值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了面面平行的判定，面面垂直的性质，线面角的计算，属于中档题．