Question

11．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（2）若$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，则|a-b|＜|c-d|．

Answer 1

分析 （1）运用两边平方，结合条件和不等式的性质，即可得证；
（2）由$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，两边平方，由条件结合不等式的性质，可得|a-b|＜|c-d|，即可得证．

解答 证明：（1）由（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，
（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a+b=c+d，ab＞cd，
可得（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²，
即为$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（2）若$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，
则（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²，
即有a+b+2$\sqrt{ab}$＞c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a+b=c+d，即有ab＞cd，
（a-b）²=（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd=（c-d）²，
可得|a-b|＜|c-d|．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．