Question

1．已知$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，直线mx+y+1=1恒过椭圆的一个顶点．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，P为椭圆的右焦点，过F的直线l（l不与坐标轴垂直）交椭圆于A，B两点，C为AB的中点，D为A关于x轴的对称点．
（i）求证：直线OC与过点F且与l垂直的直线的交点在直线x=$\frac{5}{2}$上；
（ii）在x轴上是否存在定点T，使B、D、T三点共线？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用直线mx+y+1=1恒过（0，-1），且为椭圆的一个顶点，求出b，利用离心率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求出a，c，即可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x-2），联立直线与椭圆方程，求出C的坐标，可得直线OC的方程，求出过点F且与l垂直的直线的方程，联立，即可证明结论；
（ii）求出直线BD的方程，令y=0，代入计算即可得出结论．

解答 （I）解：∵直线mx+y+1=0恒过（0，-1），且为椭圆的一个顶点，
∴b=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴c=2，a=$\sqrt{5}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）（i）证明：由题意F（2，0），设直线l的方程为y=k（x-2），其中k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），则D（x₁，-y₁），
联立直线与椭圆方程，整理得：（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4k=-$\frac{4k}{1+5{k}^{2}}$，
∵C为AB的中点，
∴C（$\frac{10{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，-$\frac{2k}{1+5{k}^{2}}$），
∴k_OC=-$\frac{1}{5k}$，
∴直线OC的方程为y=-$\frac{1}{5k}$x①，
∵过点F且与l垂直的直线的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2）②
由①②可得直线OC与过点F且与l垂直的直线的交点在直线x=$\frac{5}{2}$上；
（ii）解：在x轴上存在定点T（$\frac{5}{2}$，0），使B、D、T三点共线．
由题意，直线BD的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
又y₁x₂+y₂x₁=2kx₁x₂-2k（x₁+x₂）=-$\frac{10k}{1+5{k}^{2}}$，y₁+y₂=-$\frac{4k}{1+5{k}^{2}}$，
∴x=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{5}{2}$，
∴在x轴上存在定点T（$\frac{5}{2}$，0），使B、D、T三点共线．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查定点坐标的求解，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．