Question

6．在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2$\sqrt{3}$，∠DAC=30°，M为PB中点．
（1）证明：AM∥平面PCD；
（2）若三棱锥M-PCD的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求M到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD∥BC，通过证明NM∥AD，推出AM∥ND，即可证明AM∥平面PCD．
（2）利用三棱锥M-PCD的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，转化求解V_B-PCD，设点M到平面PCD的距离为h，通过体积，求解M到平面PCD的距离．

解答 （本小题满分12分）
解：取PC的中点为N，连结MN，DN
（1）∵M是PB的中点，∴$MN∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$∵AD∥BC，且BC=2AD，∴NM∥AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM∥ND，又∵AM?平面PCD，ND?平面PCD
所以AM∥平面PCD（6分）
（2）∵M是PB的中点，∴${V_{三棱锥M-PCD}}=\frac{1}{2}{V_{三棱锥B-PCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$∵${V_{三棱锥B-PCD}}={V_{三棱锥P-BCD}}=\frac{1}{3}•{S_{△BCD}}•PA=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×PA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}PA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD
又∵$PA=1，AD=\sqrt{3}$，∴PD=2，∴S_△PCD=1
设点M到平面PCD的距离为h，
则${V_{三棱锥M-PCD}}=\frac{1}{3}•{S_{△PCD}}•h=\frac{1}{3}×1×h=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故M到平面PCD的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．